Question

A population has a mean of 400 and a standard deviation of 50. Suppose a sample of size 100 is selected and I is used to estimate u. Use z-table. a. What is the probability that the sample mean will be within +9 of the population mean (to 4 decimals)? b. What is the probability that the sample mean will be within +13 of the population mean (to 4 decimals)?

Answer 1

1)

a)

µ =    400                                      
σ =    50                                      
n=   100      

P(µ-9<x<µ+9) = P(391   ≤ X ≤    409)

Z1 =   (X1 - µ )/(σ/√n) = ( -9 ) / (   50   / √   100   ) =   -1.80  
Z2 =   (X2 - µ )/(σ/√n) = ( 9 ) / (   50   / √   100   ) =   1.80  
P (    -1.80   < Z <    1.80   ) = P ( Z <    1.80   ) - P ( Z <   -1.80   ) =    0.964   -    0.036   =    0.9281       (answer)

b)

we need to calculate probability for ,                                          
P(µ-13<x<µ+13) = P(387   ≤ X ≤    413)   
X1 =    387   ,    X2 =   413                          
                                          
Z1 =   (X1 - µ )/(σ/√n) = (   387   -   400   ) / (   50   / √   100   ) =   -2.60  
Z2 =   (X2 - µ )/(σ/√n) = (   413   -   400   ) / (   50   / √   100   ) =   2.60  
                                          
P (   387   < X <    413   ) =    P (    -2.60   < Z <    2.60   )       
                                          
= P ( Z <    2.60   ) - P ( Z <   -2.60   ) =    0.995   -    0.005   =    0.9907       (answer)

==================

2)

a)

                       population proportion ,p=   0.3                      
                       n=   300                      
                                                  
                       std error , SE = √( p(1-p)/n ) =    0.0265                      
                                                  
                       we need to compute probability for
                       0.27   < p̂ <   0.33                  
                                                  
                       Z1 =( p̂1 - p )/SE= (   0.27   -   0.3   ) /    0.0265   =   -1.134
                       Z2 =( p̂2 - p )/SE= (   0.33   -   0.3   ) /    0.0265   =   1.134
P(   0.27   < p̂ <   0.33   ) =    P[( p̂1-p )/SE< Z <(p̂2-p)/SE ]    =P(    -1.134   < Z <   1.134   )          
                                                  
= P ( Z <   1.134   ) - P (    -1.134   ) =    0.8716   -   0.1284   =   0.7432              

b)

                       population proportion ,p=   0.3                      
                       n=   300                      
                                                  
                       std error , SE = √( p(1-p)/n ) =    0.0265                      
                                                  
                       we need to compute probability for                           
                       0.25   < p̂ <   0.35                  
                                                  
                       Z1 =( p̂1 - p )/SE= (   0.25   -   0.3   ) /    0.0265   =   -1.890
                       Z2 =( p̂2 - p )/SE= (   0.35   -   0.3   ) /    0.0265   =   1.890
P(   0.25   < p̂ <   0.35   ) =    P[( p̂1-p )/SE< Z <(p̂2-p)/SE ]    =P(    -1.890   < Z <   1.890   )          
                                                  
= P ( Z <   1.890   ) - P (    -1.890   ) =    0.9706   -   0.0294   =   0.9412