Question

2. Consider the following initial value problem for the wave equation, modeling a vi- brating string with fixed endpoints. au = 922 u u(t,0) = u(t, 7) = 0 u(0,x) = 8 sin(x) sin(2x) sin(3x) (Ou(0,2) = 9 sin(6x) (a) What is the length L of the string? What is the value of the constant c= T/p? (b) Write down the solution of this initial value problem. (Hint: You might find the following identities helpful.)! cos(a + b) = cos a cos b - sin a sinb sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Extra Credit: Prove the trigonometric identities given in the item above using multiplication of complex numbers and eto = cos 0 + i sin 0.

Answer 1

- -0 g-cs: u(to) - (+ т) = 0 1. Су: аби). Ямя Ячи Ми37 46); чсм. the general form of wave equation is cffc? Una ocuch, tro. Kee -4 -|c-13 г. с- тез- length of string is [La } 0 8 sinn sinna siuzx = 4 sinnu (2 sinne Sinßr) = 4 Siч ая [cus (1) - cos&) 44 січ 2ң (ову 11 - 4 4 х 644 2 su 4xa 2 (sin 6x - Sunken)) = [2 Sinza tz sinan ~2 Singe (2 siuncosa = Sinza , a seua sinya Coslaty) - Cofanty) a 2 ли Go'Я - мач) + (-) er) sin(x+y)- ич(-1) ) - С+). 2 +11+ 2 мм - 12 (d«.4 4* *)-« «си. my nos separadran of unciable merad va Xw-T4) en от "хахт эх", т. 4- - - А со и Веселогои Сов, p70. Ф) - х"+ Руго – (У: cows px+ce Cup| K 1

Иг 111, -, - 7+qp?t=0 ; Tosz cs63 pt) +Cq Sin@pt) • OC%о) - О - Х0) го з о: C:\tc, - о -с зо) x о г) го Эх (п) -o - o cz<im (en) = Сит) =(n:P o@я). Хта (Am cos (Gnt)# Bm i«т»)] a«о»), ,, .. (со (а Аи, са: (498) по РҮіме еte 4 Serge ti teon ot 1) - Сам со знь Вh inѕч») і «я») – моо - T-G: ov) = 2 січ см + сімах-t C«ся 2 dut + традам - ач (ч. 3 А4 фоих. е дали Corel cley Qч им we Co ug . Aza A4=2 & A6=-2 and all other Ans willze Jesu. 1 Auto forn$21416. е оfers) = • a gi«&*): Гач-о 1 270, -1] ѕч их, eque-va C-Huuh Gчии от wң iq wе си. * : 6, з 6- B4 = В = , 4 «44 В, «исвачі$4 . :. өте)= 2 44 + несе — оснее) :. ов»), а фіцъx of6+) + 2 osqu). 44 + - Cof lift+) -9іч 6+ . +, яч +) чве. : os), 2 cos&t). <a (19) + 2 Cott). Qu4% - 2 das (te): Guct + Smart gue be

f ugit)= a cos(6t). Sin (2) + 2 cos(12 t) - Son (49)_2 cos (18+). Gincon)) + siulet). Siu (ov) L e = cosa ti sind, & el cas de ti sina 3 cio: iOL = (cosou tisino,) (cosézt i sinde) - cibutor] = aso, Cos de- sind, sindz ti(caso, findet sind, core) Cus@,702) Hi Siulauto2) = caso, Cosoz – Siud, findeti (wsə, simz + Sirë, Sun) I equating real and Imaginary parts on both siddy. - Cose Ho) = cosa, casoz-sina Siude & and sintO2) - Casopinaz & Sund, COSOL