Question

9.2 Redo problem 9.1, except now with a bowl in which 50% of the chips are marked 1, 30% are marked 2, and 20% are marked 3.

Answer 1

Let Xi shows the number on ith chip. Let P(Xi=xi) shows the probability of selecting Xi chip.

So,

$\bar{x}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{4}$

Since each chip is independent from other so,

$P(\bar{X}=\bar{x})=P(X1=x1)\cdot P(X2=x2)\cdot P(X3=x3)\cdot P(X4=x4)$

Following table shows the all possible selections and corresponding probabilities:

A C. D F G H K Chip 1, X1 Chip 2, X2 Chip 3, X3 Chip 4, X4 Xbar P(X1-x1) P(X2=x2) P(X3-x3) P(X4-x4) P(Xbar-xbar) 2 0.5 0.5 1 1 1 1 1 0.5 0.5 0.0625 0.0375 1 2 1.25 0.5 0.5 0.5 0.3 4 1 1 1 3 1.5 0.5 0.5 0.5 0.2 0.025 5 2 1.25 0.5 0.5 0.3 0.5 0.0375 6 1.5 1 1 2 2 0.5 0.5 0.3 0.3 0.0225 7 1 2 3 1.75 0.5 0.5 0.3 0.2 0.015 8 0.5 1 1 1. 1.5 0.5 0.5 0.2 0.025 2 1.75 0.5 0.5 0.2 0.3 0.015 10 0.5 0.01 1. 1. 2 0.5 0.2 0.2 11 0.0375 1 2 1 1.25 0.5 0.3 0.5 0.5 12 0.3 0.3 0.0225 1 2 1 2 1.5 0.5 0.5 13 1.75 0.3 1. 2 1 0.5 0.5 0.2 0.015 14 2 2 1 1.5 0.5 0.3 0.3 0.5 0.0225 15 0.3 1 2 2 2 1.75 0.5 0.3 0.3 0.0135 16 2 2 2 0.5 0.3 0.3 0.2 0.009 17 0.2 1. 2 1 1.75 0.5 0.3 0.5 0.015 18 2 2 0.5 0.3 0.2 0.3 0.009 19 0.3 0.2 0.2 1 2 3 2.25 0.5 0.006 20 1 1.5 0.5 0.2 0.5 0.5 0.025 21 0.2 1. 3 1 2 1.75 0.5 0.5 0.3 0.015 22 3 1 2 0.5 0.2 0.5 0.2 0.01 23 1 1.75 0.5 0.2 0.3 0.5 0.015 24 1 3 2 2 0.5 0.2 0.3 0.3 0.009 25 0.006 2 2.25 0.5 0.2 0.3 0.2 26 0.2 0.5 1 3 1. 2 0.5 0.2 0.01 27 2.25 3 2 0.5 0.2 0.2 0.3 0.006 28 1 2.5 0.5 0.2 0.2 0.2 0.004 29 2 1 1 1.25 0.3 0.5 0.5 0.5 0.0375 30 0.5 0.3 0.0225 2 1 1 2 1.5 0.3 0.5 31 2 1 1.75 0.3 0.5 0.5 0.2 0.015 32 0.0225 2 1 2 1 1.5 0.3 0.5 0.3 0.5 33 2 1 2 2 1.75 0.3 0.5 0.3 0.3 0.0135 34 2 1 2 3 2 0.3 0.5 0.3 0.2 0.009 35 2 1 1 1.75 0.3 0.5 0.2 0.5 0.015 36 2 1 2 0.3 0.5 0.2 0.3 0.009 37 0.5 0.2 2 1 3 2.25 0.3 0.2 0.006 38 2 2 1 1.5 0.3 0.3 0.5 0.5 0.0225 39 2 2 1 2 1.75 0.3 0.3 0.5 0.3 0.0135 40 2 2 1 3 2 0.3 0.3 0.5 0.2 0.009 41 0.3 0.3 0.5 2 2 2 1. 1.75 0.3 0.0135 42 2 2 2 2 2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.0081 ন L st cm. HNmtnO

A. C E F G Н K. 43 2 2 2 2.25 0.3 0.3 0.3 0.2 0.0054 44 2 2 2 0.3 0.3 0.2 0.5 0.009 45 2 2 2 2.25 0.3 0.3 0.2 0.3 0.0054 46 2 2 3 2.5 0.3 0.3 0.2 0.2 0.0036 47 1 1 1.75 0.3 0.2 0.5 0.5 0.015 48 2 1 2 2 0.3 0.2 0.5 0.3 0.009 49 2 1 2.25 0.3 0.2 0.5 0.2 0.006 50 0.009 2 2 1 2 0.3 0.2 0.3 0.5 51 0.3 0.3 2 2 2.25 0.2 0.3 0.0054 52 2 2.5 0.3 0.2 0.3 0.2 0.0036 53 2.25 2 3 1 0.3 0.2 0.2 0.5 0.006 54 2 3 2 2.5 0.3 0.2 0.2 0.3 0.0036 55 2 2.75 0.3 0.2 0.2 0.2 0.0024 56 1 1 1.5 0.2 0.5 0.5 0.5 0.025 57 3 1 1 2 1.75 0.2 0.5 0.5 0.3 0.015 58 0.2 0.5 1 1 2 0.5 0.2 0.01 59 1 2 1.75 0.2 0.5 0.3 0.5 0.015 60 1 2 2 2 0.2 0.5 0.3 0.3 0.009 61. 1 2 2.25 0.2 0.5 0.3 0.2 0.006 62. 0.2 1 1 2 0.5 0.2 0.5 0.01 63 1 2 2.25 0.2 0.5 0.2 0.3 0.006 64 1 3 2.5 0.2 0.5 0.2 0.2 0.004 65 2 1 1 1.75 0.2 0.3 0.5 0.5 0.015 66 2 1 2 2 0.2 0.3 0.5 0.3 0.009 67 2 1 2.25 0.2 0.3 0.5 0.2 0.006 68 0.009 2 2 1 2 0.2 0.3 0.3 0.5 69 0.2 0.3 2 2 2 2.25 0.3 0.3 0.0054 70 2 2 2.5 0.2 0.3 0.3 0.2 0.0036 71 0.3 2 3 2.25 0.2 0.2 0.5 0.006 72. 2 2 2.5 0.2 0.3 0.2 0.3 0.0036 73 0.2 0.0024 3 2.75 0.3 0.2 0.2 74 1 2 0.2 0.2 0.5 0.5 0.01 75 0.006 1 2 2.25 0.2 0.2 0.5 0.3 76 3 1 2.5 0.2 0.2 0.5 0.2 0.004 77 2 1 2.25 0.2 0.2 0.3 0.5 0.006 78 2 2 2.5 0.2 0.2 0.3 0.3 0.0036 79 2 2.75 0.2 0.2 0.3 0.2 0.0024 80 0.2 1 2.5 0.2 0.2 0.5 0.004 81 2 2.75 0.2 0.2 0.2 0.3 0.0024 82 0.2 0.2 0.2 0.2 0.0016 83 Total n CO

Now we need to add the probabilities for same xbar. Following table shows the pdf of xbar:

Xbar	P(Xbar=xbar)
1	0.0625
1.25	0.15
1.5	0.235
1.75	0.234
2	0.1761
2.25	0.0936
2.5	0.0376
2.75	0.0096
3	0.0016
Total	1