Problem

Um solenoide toroidal (veja o Exemplo 28.10) possui raio interno r1 = 15,0 cm e raio exter...

Um solenoide toroidal (veja o Exemplo 28.10) possui raio interno r1 = 15,0 cm e raio externo r2 = 18,0 cm. O solenoide possui 250 espiras e conduz uma corrente de 8,50 A. Qual é o módulo do campo magnético em um ponto cuja distância ao centro do toroide é: (a) 12,0 cm? (b) 16,0 cm? (c) 20,0 cm?

Exemplo 28.10:

A Figura 28.25a mostra o chamado solenoide toroidal ou toroide, que conduz uma corrente I através de um enrolamento com TV espiras em tomo de um núcleo em forma de rosca. (Na prática, as espiras estão muito mais próximas que o indicado na figura.) Determine o campo magnético em todos os pontos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: ignorando o pequeno passo dos enrolamentos helicoidais, podemos considerar cada volta de um solenoide toroidal com espiras muito próximas como uma espira disposta em um plano perpendicular ao grande eixo circular do toroide. A simetria da situação, então, nos diz que as linhas do campo magnético devem ser círculos concêntricos ao eixo do toroide. Portanto, escolhemos os percursos de integração circulares (dos quais a Figura 28.25b mostra três) para a aplicação da lei de Ampère, de modo que o campo (se houver) seja tangente à circunferência em cada um dos pontos ao longo do percurso.

EXECUTAR: ao longo de cada percurso, é igual ao produto de B pelo comprimento da circunferência l = 2πr. A corrente total que passa pelo percurso 1 é igual a zero; logo, de acordo com a lei de Ampère, o campo = 0 em todos os pontos ao longo do percurso.

Cada espira do enrolamento passa duas vezes através da área delimitada pelo percurso 3, conduzindo correntes iguais em sentidos contrários. Portanto, a corrente total que passa no interior da área delimitada por essa circunferência é igual a zero c, portanto, = 0 em todos os pontos ao longo do percurso. Concluímos que o campo magnético de um toroide está inteiramente confinado ao espaço no interior das espiras. Podemos imaginar um solenoide toroidal como um extenso solenoide que foi encurvado ao longo de uma circunferência.

Finalmente, consideramos o percurso 2, onde temos . Cada espira do enrolamento passa uma vez através da área delimitada pelo percurso 2, de modo que Iinte = NI. Observe que a corrente Iinte é positiva para o percurso de integração no sentido horário mostrado na Figura 28.25b, portanto possui o sentido indicado. Então, de acordo com a lei de Ampère, vemos quemodo que 2πr B = μ0NI, de modo que

(28.24)

AVALIAR: a Equação 28.24 indica que B não é uniforme ao longo da seção reta do núcleo, porque o raio r do lado externo da seção é maior que o raio do lado interno. Contudo, quando a espessura do núcleo é pequena em comparação com r, a variação é muito pequena. Nesse caso, como 2πr é o comprimento da circunferência do toroide e N/2πr é o número de espiras n por unidade de comprimento, podemos escrever o campo na forma B = μ0nI, como é no centro de um solenoide reto longo.

Em um toroide real, as espiras não são exatamente espiras circulares, mas segmentos de uma hélice curvada. Portanto, o campo externo não é estritamente igual a zero. Para estimar seu módulo, podemos imaginar que a Figura 28.25a seja equivalente de modo muito aproximado a uma espira circular de única voltacom raio r. No centro dessa espira, a Equação 28.17 oferece B = μ0I/2r; isso é menor que o campo magnético no centro do solenoide por um fator de N/π.

As equações que deduzimos para o campo magnético de um solenoide reto ou de um solenoide toroidal são estritamente verdadeiras somente para o caso de solenoides no vácuo. Contudo, em muitas aplicações práticas, essas fórmulas também podem ser usadas para solenoides no ar ou quando o núcleo for feito de um material que não seja magnético nem supercondutor. Na próxima seção, mostraremos como essas fórmulas se modificam quando o núcleo é composto por um material magnético.

Figura 28.25 (a) Um solenoide toroidal. Para maior clareza, somente algumas espiras são indicadas. (b) Percursos de integração (circunferências) usados para determinar o campo magnético produzido pela corrente (indicado por pontos e cruzes).