Question

9.3.3 Cloud seeding has been studied for many decades as a weather modification procedure (for an interesting study of this subject, see the article in Technometrics, "A Bayesian Analysis of a Multiplicative Treatment Effect in Weather Modification", Vol. 17, pp. 161-166). The rainfall in acre-feet from 20 clouds that were selected at random and seeded with silver nitrate follows: 19.0, 31.7, 20.8, 28.1, 23.3, 19.8, 32.8, 24.4, 22.2, 28.9, 32.9, 28.1. 26.0, 25.7, 27.9, 22.8, 30.2, 35.8, 27.7, 32.6 (a) Can you support a claim that mean rainfall from seeded clouds exceeds 26.0 acre-feet? Use a = 0.01. There is | evidence to indicate that the true mean rainfall is greater than 26.0 acre-feet at = 0.01. (b) Compute the power of the test if the true mean rainfall is 28.0 acre-feet. Round your answer to one decimal place (e.g. 98.7). (c) What sample size would be required to detect a true mean rainfall of 28.5 acre-feet if we wanted the power of the test to be at least 0.9? n R ound your answer to the nearest Integer. Statistical Tables and Charts

Answer 1

a)

Ho :   µ =   26                  
Ha :   µ >   26       (Right tail test)          
                          
Level of Significance ,    α =    0.01                  
sample std dev ,    s = √(Σ(X- x̅ )²/(n-1) ) =   4.7848                  
Sample Size ,   n =    20                  
Sample Mean,    x̅ = ΣX/n =    27.0350                  
                          
degree of freedom=   DF=n-1=   19                  
                          
Standard Error , SE = s/√n =   4.7848   / √    20   =   1.0699      
t-test statistic= (x̅ - µ )/SE = (   27.035   -   26   ) /    1.0699   =   0.967
                          
  
p-Value   =   0.172755   [Excel formula =t.dist(t-stat,df) ]              
Decision:   p-value>α, Do not reject null hypothesis                       
Conclusion: There is not enough evidence ...............   

b)

true mean ,    µ =    28              
                      
hypothesis mean,   µo =    26              
significance level,   α =    0.01              
sample size,   n =   20           0.3125  
std dev,   σ =    4.7848              
                      
δ=   µ - µo =    2              
                      
std error of mean,   σx = σ/√n =    4.7848   / √    20   =   1.06991

Zα =       2.3263   (right tailed test)
We will fail to reject the null (commit a Type II error) if we get a Z statistic <               2.326      
this Z-critical value corresponds to X critical value( X critical), such that                      
                      
(x̄ - µo)/σx ≤ Zα                      
x̄ ≤ Zα*σx + µo                      
x̄ ≤    2.326   *   1.0699   +   26  
       x̄ ≤    28.4890   (acceptance region)      
                      
now, type II error is ,ß =    P( x̄ ≤    28.489   given that µ =   28   )  
                      
   = P ( Z < (x̄-true mean)/σx )                  
=P( Z < (   28.489   -   28   ) /   1.0699   )
                      
   = P ( Z <    0.457   ) =   0.6761733325   [excel fucntion: =normsdist(z)  
                      
                      
power =    1 - ß =   0.3

c)

  True mean   µ =    28.5                              
hypothesis mean,   µo =    26                              
                                      
Level of Significance ,    α =    0.01                              
std dev =    σ =    4.7848                              
power =    1-ß =    0.9                              
ß=       0.1                              
δ=   µ - µo =    2.5                              
                                      
Z ( α ) =       2.3263   [excel function: =normsinv(α)                          
                                     
Z (ß) =        1.2816   [excel function: =normsinv(ß)                         
                                      
sample size needed =    n = ( ( Z(ß)+Z(α) )*σ / δ )² = ( (   1.2816   +   2.3263   ) *   4.8   /   2.5   ) ² =   47.68
                                      
so, sample size =        48