Question

167 168 168 169 169 171 172 173 175 175 175 177 182 195. 2. En una muestra de 105 comercios seleccionados al azar de una zona, se observa que 27 de ellos han tenido pérdidas en este mes. Obtenga un intervalo de confianza para la proporción de comercios en la zona con pérdidas, a un nivel de confianza a) del 80 % y a un nivel de confianza b) del 90%.

Answer 1

(2) Here, = proportion of businesses in the area with losses = 27/105 = 0.2571.
We are to construct two confidence interval, one with level of 80% and another with level 90%.

Answer 2

Para encontrar el intervalo de confianza para la proporción de comercios en la zona con pérdidas, usamos la fórmula:

Intervalo de confianza = proporción muestral ± margen de error

Donde el margen de error se calcula como:

margen de error = valor crítico x error estándar

El valor crítico depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra, mientras que el error estándar se calcula como:

error estándar = √(proporción muestral x (1 - proporción muestral) / tamaño de muestra)

a) Nivel de confianza del 80%: El valor crítico correspondiente a un nivel de confianza del 80% y un tamaño de muestra de 105 se encuentra en la tabla de distribución normal estándar como 1.28. El error estándar se calcula como:

error estándar = √(0.257 x 0.743 / 105) = 0.048

Por lo tanto, el intervalo de confianza al 80% es:

Intervalo de confianza = 0.257 ± 1.28 x 0.048 = (0.191, 0.323)

Esto significa que podemos estar seguros al 80% de que la proporción real de comercios con pérdidas en la zona se encuentra entre el 19.1% y el 32.3%.

b) Nivel de confianza del 90%: El valor crítico correspondiente a un nivel de confianza del 90% y un tamaño de muestra de 105 se encuentra en la tabla de distribución normal estándar como 1.645. El error estándar es el mismo que en el caso anterior.

Por lo tanto, el intervalo de confianza al 90% es:

Intervalo de confianza = 0.257 ± 1.645 x 0.048 = (0.178, 0.336)

Esto significa que podemos estar seguros al 90% de que la proporción real de comercios con pérdidas en la zona se encuentra entre el 17.8% y el 33.6%.