Um elétron e um pósitron estão se movendo um em direção ao outro e cada um tem velocidade...

Um elétron e um pósitron estão se movendo um em direção ao outro e cada um tem velocidade 0,500c no ambiente de laboratório, (a) Qual é a energia cinética de cada partícula? (b) O e+ e o e− colidem de frente e se aniquilam. Qual é a energia produzida por cada fóton? (c) Qual é o comprimento de onda de cada fóton? Qual e a relação entre o comprimento de onda e o comprimento de onda do fóton quando a energia cinética inicial do e+ e do e− for desprezivelmente pequena (veja o Exemplo 38.6)?

Exemplo 38.6

Um elétron e um pósitron, inicialmente distantes, movem-se um cm direção ao outro com a mesma velocidade. Eles então colidem, aniquilando-se e produzindo dois fótons. Encontre as energias, os comprimentos de onda e as frequências dos fótons se a energia cinética do elétron e do pósitron forem: (a) ambas desprezíveis; (b) ambas 5,000 MeV. A energia de repouso do elétron é 0,511 MeV.

IDENTIFICAR E PREPARAR: da mesma forma que nas colisões elásticas que estudamos no Capítulo 8, tanto o momento linear quanto a energia são conservados no aniquilamento de par. Como o elétron e o pósitron estão inicialmente distantes, a energia potencial elétrica é zero e a energia inicial é a soma da energia cinética da partícula com as energias de repouso. A energia final é a soma das energias dos fótons. O momento linear total inicial é zero. Da mesma forma, o momento linear total dos dois fótons tem de ser zero. Obtemos a energia do fóton E, usando o princípio da conservação da energia, a conservação do momento linear e a relação E = pc (veja a Seção 38.1). Calculamos então os com­primentos de onda e as frequências a partir de E = hc/λ = hf.

EXECUTAR: se o momento linear total dos dois fótons precisa ser zero, seus momentos lineares precisam ter seus módulos iguais a p. a mesma direção e sentidos opostos. Como E = pc = hc/λ = hf, os dois fótons também precisam ter a mesma energia E, comprimento de onda λ e frequência f.

Antes da colisão, a energia de cada elétron é K + mc2, onde K é a energia cinética e mc2 = 0.511 MeV. Usando a conservação da energia, temos

Dessa forma, a energia de cada fóton é E = K + mc2.

Neste caso, a energia cinética do elétron K é desprezível se comparada com sua energia de repouso mc2, então cada fóton possui energia E = mc2 = 0,511 MeV. O comprimento de onda e a frequência do fóton correspondentes são

Neste caso, K = 5,000 MeV, portanto cada fóton possui energia E = 5.000 MeV + 0.511 MeV = 5.511 MeV. Se fizermos do mesmo jeito que na parte (a), podemos mostrar que o comprimento de onda do fóton é 0.2250 pm e a frequência é 1.333 × 1021 Hz.

AVALIAR: o Exemplo 38.1 nos faz lembrar que um fóton de luz visível de 650 nm possui energia de 1,91 eV e frequência de 4,62 × 1014 Hz. A energia do fóton é aproximadamente 2.5 × 105 vezes maior que a encontrada na parte (a). Conforme esperado. o comprimento de onda do fóton é menor e sua frequência é maior que um fóton de luz visível pelo mesmo fator. Você pode verificar os resultados da parte (b) da mesma maneira.