Use a parte (a) do Teorema para provar a parte (b).Teorema Seja A uma matriz quadrada.(a)...

Use a parte (a) do Teorema para provar a parte (b).

Teorema Seja A uma matriz quadrada.

(a) Se B for uma matriz quadrada satisfazendo BA = I, então B = A–1.

(b) Se B for uma matriz quadrada satisfazendo AB = I, então B = A–1.

Provamos a parte (a) e deixamos a parte (b) como exercício.

Prova (a) Suponha que BA = I. Se conseguirmos mostrar que A é invertível, a prova poderá ser completada multiplicando BA = I de ambos lados por A–1 para obter

BAA–1 = IA–1 ou BI = IA–1 ou B = A–1

Para mostrar que A é invertível, é suficiente mostrar que o sistema Ax = 0 tem só a solução trivial (ver Teorema 1.5.3). Seja x0 uma solução qualquer desse sistema. MultiplicandoambosladosdeAx0 =0àesquerdapor B,obteremos BAx0 = B0,Ix0 = 0 ou x0 = 0. Assim, o sistema de equações Ax = 0 tem somente a solução trivial.