Problem

Axônios e cadeia atenuadora. A rede que se estende até o infinito na Figura P26.83 denomin...

Axônios e cadeia atenuadora. A rede que se estende até o infinito na Figura P26.83 denomina-se cadeia atenuadora, uma vez que, nessa cadeia de resistores, a diferença de potencial entre o fio superior e o inferior diminui, ou se atenua, ao longo do comprimento da cadeia. (a) Mostre que, se a diferença de potencial entre os pontos a e b indicados na Figura P26.83 é Vab, então a diferença de potencial entre os pontos c e d é dada por Vcd = Vab/(1 + β), em que β = 2R1(RT + R2)/RTR2 e RT, a resistência total da rede, foi obtida no Problema desafiador 26.83. (Veja a dica dada naquele problema.) (b) Se a diferença de potencial entre os terminais a e b da extremidade esquerda da rede infinita for V0, mostre que a diferença de potencial entre os pontos dos fios superior e inferior, situados a uma distância igual a n segmentos da rede contados a partir da extremidade esquerda, é dada por Vn = V0/(1 + β)n. Considerando R1 = R2, quantos segmentos serão necessários para produzir uma redução na diferença de potencial Vn até um valor menor que 1,0% do valor de V0? (c) Uma cadeia atenuadora infinita fornece um modelo para a propagação de um pulso de voltagem ao longo de uma fibra nervosa, conhecida como axônio. Cada segmento da rede na Figura P26.83 representa um pequeno segmento do axônio de comprimento Δx. A resistência R1 representa a resistência do fluido dentro e fora da parede da membrana do axônio. A resistência da membrana para uma corrente que flui através da parede é representada por R2. Para um segmento de axônio com um comprimento Δx = 1,0 μm, R1 = 6,4 × 103 Ω e R2 = 8,0 × 108 Ω (a parede da membrana é um bom isolante). Calcule RT e β para um axônio infinitamente comprido. (Essa aproximação é boa, visto que o comprimento do axônio é muito maior que sua largura; o maior axônio no sistema nervoso humano possui cerca de 1 m de comprimento, porém seu raio é aproximadamente igual a 10−7 m.) (d) Qual é a fração da diminuição da diferença de potencial entre as partes interna e externa do axônio depois de uma distância igual a 2,0 mm? (e) A atenuação da diferença de potencial calculada no item (d) mostra que o axônio não pode ser simplesmente um cabo passivo conduzindo a corrente elétrica; a diferença de potencial deve ser periodicamente reforçada ao longo do comprimento do axônio. Esse mecanismo do potencial de ação é lento, de modo que o sinal se propaga ao longo do axônio com uma velocidade aproximada de 30 m/s. Quando uma resposta mais rápida torna-se necessária, o axônio é revestido com uma camada de material gorduroso, denominado mielina. Os segmentos possuem comprimento aproximado de 2 mm e são separados por lacunas, chamadas de nódulos de Ranvier. A mielina produz um aumento da resistência de um segmento de 1,0 μm da membrana para R2 = 3,3 × 1012 Ω. Para esse axônio revestido com a camada de mielina, qual é a fração da diminuição da diferença de potencial entre as partes interna e externa do axônio depois de uma distância compreendida entre dois nódulos de Ranvier consecutivos? Essa atenuação menor permite que a velocidade de propagação aumente.

Problema 26.83:

Malha infinita. A rede com os resistores R1 e R2 indicados na Figura P26.83 se estende até o infinito pelo lado direito. Prove que a resistência total RT dessa rede infinita é dada por