Um arco-íris é produzido pela reflexão da luz solar em gotas de água esféricas existentes...

Um arco-íris é produzido pela reflexão da luz solar em gotas de água esféricas existentes no ar. A Figura P33.60 mostra um raio que se refrata para o interior de uma gota no ponto A, é refletido na superfície posterior da gota no ponto B e se refrata voltando para o ar no ponto C. Os ângulos de incidência e refração, θa e θb,são mostrados nos pontos A e C, e os ângulos de incidência e de reflexão, θa e θr são mostrados no ponto B. (a) Mostre que  (b) Mostre que o ângulo em radianos antes de o raio entrar na gota em A e depois de sair da gota em C (a deflexão angular total do raio) é  (Dica: determine as deflexões angulares que ocorrem em A, em B e em C e some-as para encontrar Δ.) (c) Use a lei de Snell para escrever Δ em função de  e de n, o índice de refração da água na gota. (d) Um arco-íris se forma quando o ângulo de deflexão Δ é estacionário no ângulo de incidência  — ou seja, quando  Quando essa condição for satisfeita, todos os raios próximos de  sairão da gota retornando na mesma direção, produzindo uma faixa brilhante no céu. Chame de θ1 o valor de  para o qual isso ocorre. Mostre que  (Dica: talvez você ache conveniente usar a fórmula da derivada d(arcsen u(x))/dx = (1 − u2)−1/2(du/dx)). (e) O índice de refração da água é igual a 1,342 para a luz violeta e 1,330 para a luz vermelha. Use os resultados dos itens (c) e (d) para calcular θ1 e Δ para as luzes vermelha e violeta. Seus resultados coincidem com os ângulos mostrados na Figura 33.19d? Quando você vê um arco-íris secundário, qual cor está mais afastada do horizonte: a vermelha ou a violeta?

Figura P33.60:

Figura 33.19: Como os arco-íris são formados.

(d) Um arco-íris primário é formado por raios que passam por duas refrações e uma reflexão interna. O ângulo Δ émaior para a luz vermelha que para a luz violeta.