Verifique o Teorema (d) para as matrizes A e B do Exercício.Teorema (d)A inversa de uma ma...

Verifique o Teorema (d) para as matrizes A e B do Exercício.

Teorema (d)

A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é triangular inferior, e a inversa de uma matriz triangular superior invertível é triangular superior.

Exercício

Verifique o Teorema (b) para o produto AB, com

Teorema (b)

O produto de matrizes triangulares inferiores é triangular inferior, e o produto de matrizes triangulares superiores é triangular superior.

Prova (b)

Provamos o resultado para matrizes triangulares inferiores; a prova para matrizes triangulares superiores é análoga. Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes n × n triangulares inferiores e seja C = [cij] o produto C = AB. Podemos provar que C é triangular inferior mostrando que cij = 0, com i < j. Mas, pela definição de multiplicação matricial,

Supondo que i < j, os termos dessa expressão podem ser agrupados como segue.

No primeiro agrupamento, todos os fatores de b são nulos, pois B é triangular inferior e, no segundo agrupamento, todos os fatores de a são nulos, pois A é triangular inferior. Assim, cij = 0, que é o que queríamos mostrar.