Mostramos no Teorema que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só...

Mostramos no Teorema que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes comutam. Será o produto de matrizes antissimétricas que comutam uma matriz antissimétrica? Explique. [Observação: ver Exercício  para a definição de antissimétrica.]

Exercício

Dizemos que uma matriz quadrada A é antissimétrica se AT = –A. Prove cada afirmação dada.

(a) Se A for uma matriz antissimétrica invertível, então A–1 é antissimétrica.

(b) Se A e B são antissimétricas, então também o são AT, A + B, A – B e kA, com qualquer escalar k.

(c) Toda matriz quadrada A pode ser expressa como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica. [Sugestão: observe a identidade

Teorema

O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes comutam.