O cálculo unidimensional do Exemplo 42.4 (Seção 42.3) pode ser estendido para três dimensõ...

O cálculo unidimensional do Exemplo 42.4 (Seção 42.3) pode ser estendido para três dimensões. Para a rede fcc tridimensional do NaCl, o resultado para a energia potencial de um par de íons Na+ e Cl− devida à interação eletrostática com todos os íons no cristal é U = -αe2/4πϵ0r, onde α = 1,75 é a constante de Madelung. Outra contribuição para a energia potencial é uma interação repulsiva na pequena separação iônica r devida à superposição das nuvens de elétrons. Essa contribuição pode ser representada por A/r8, onde A é uma constante positiva, de modo que a expressão para a energia potencial total é

(a) Considere que r0 seja o valor da separação iônica r para a qual Utot é um mínimo. Use essa definição para determinar uma equação que relacione r0 e A, e use isso para escrever Utot em termos de r0. Para o NaCl, r0 = 0,281 nm. Obtenha um valor numérico (em elétrons-volt) de Utot para o NaCl. (b) A quantidade − Utot é a energia exigida para remover um íon Na+ e um íon Cl− do cristal. A formação de um par de átomos neutros a partir desse par de íons envolve a liberação de 5,14 eV (a energia de ionização do Na) e o gasto de 3,61 eV (a afinidade eletrônica do Cl). Use o resultado do item (a) para calcular a energia exigida para remover um par de átomos Na e Cl neutros a partir do cristal. O valor experimental para essa quantidade é 6,39 eV; seu cálculo combina com esse valor?

Exemplo 42.4:

Considéré um cristal iònico unidimensional imaginário constituído por um número muito grande de íons positivos com carga +e separados por uma distância a constante dos íons negativos com carga −e. Prove que a energia potencial total da interação é negativa, significando que esse “cristal” é estável.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: podemos considerar cada íon uma carga puntiforme e usar nosso resultado na Seção 23.1 para a energia potencial elétrica de uma coleção de cargas puntiformes.

As equações 23.10 e 23.11 indicam que devemos considerar a energia potencial elétrica U de cada par de cargas. A energia potencial total do sistema é a soma dos valores de U para cada par possível; consideramos que o número de pares é infinito.

EXECUTAR: considere um íon em algum lugar no meio da linha reta e some todas as energias potenciais da interação com os outros íons de um dos lados da configuração. Pela Equação 23.11, obtemos a série

Podemos notar que a série entre parênteses é semelhante à série de Taylor para ln(l + x):

Quando x = 1, a série fica idêntica à série entre parênteses, logo

Esse resultado certamente é negativo. Os átomos do outro lado do íon que estamos considerando contribuem de forma igual para a energia potencial. Se incluirmos a energia potencial de todos os pares de átomos, a soma será, sem dúvida, negativa.

AVALIAR: concluímos que esse “cristal” iônico unidimensional é estável: sua energia é menor que a energia potencial elétrica igual a zero obtida quando todos os íons estão infinitamente distanciados uns dos outros.