Considere um gás de moléculas diatómicas (momento de inércia í) a uma temperatura absoluta...

Considere um gás de moléculas diatómicas (momento de inércia í) a uma temperatura absoluta T. Seja Eg a energia do estado fundamental e Eex a energia do estado excitado; então, de acordo com a distribuição de Maxwell-Boltzmann (veja a Seção 39.4), a razão entre os números de moléculas nos dois estados é . (a) Explique por que a razão entre o número de moléculas no nível rotacional de ordem leo número de moléculas no estado fundamental rotacional (l = 0) é

(Dica: para cada valor de l, quantos estados existem com valores diferentes de ml?) (b) Determine a razão nl/n0 para o gás de moléculas de CO a 300 K para os seguintes casos: (i) l = 1; (ii) l = 2; (iii) l = 10; (iv) l = 20; (v) l = 50. O momento de inércia da molécula de CO é dado no Exemplo 42.2 (Seção 42.2). (c) Seus resultados do item (b) mostram que, quando l cresce, a razão nl/n0 inicialmente cresce e depois decresce. Por quê?

Exemplo 42.2:

A distância entre os dois núcleos da molécula de monóxido de carbono (CO) é 0,1128 nm. A massa do átomo de carbono mais comum é 1,993 ×10−26 kg; a do átomo de oxigénio mais comum é igual a 2,656 ×10−26 kg. (a) Calcule as energias dos três níveis de energia de rotação do CO. Expresse o resultado em meV (1 meV = 10-3 eV). (b) Determine o comprimento de onda do fóton emitido na transição do estado l = 2 até l = 1.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema utiliza as ideias estudadas nesta seção a respeito dos níveis de energia de rotação das moléculas. O problema informa a distância r0 entre os átomos e suas massas m1 e m2. Calculamos a massa reduzida mr por meio da Equação 42.4, o momento de inércia I da molécula com a Equação 42.6, e as energias dos níveis com a Equação 42.3. A energia E do fóton emitido é igual à diferença de energia entre os níveis l = 2 e l = 1. (Essa transição obedece à regra de seleção Δl = ±1, pois Δl = 1 − 2 = − 1.) Calculamos o comprimento de onda por meio da relação E = hc/λ para um fóton.

EXECUTAR: (a) usando as equações 42.4 e 42.6, verificamos que a massa reduzida e o momento de inércia da molécula de CO são:

AVALIAR: a diferença entre os dois primeiros níveis de energia de rotação do CO é muito pequena (cerca de 1 meV = 10−3eV) comparada à diferença entre os níveis de energia atómicos (que costumam ser de poucos eV). Assim, um fóton emitido por uma molécula de CO em uma transição do nível l = 2 ao nível l = 1 possui uma energia muito baixa e um comprimento de onda muito grande em comparação com a luz visível emitida por átomos excitados. Os comprimentos de onda de fótons em transições de rotação nas moléculas normalmente encontram-se na região das micro-ondas e do infravermelho longínquo do espectro eletromagnético.

Neste exemplo, é dada a distância de equilíbrio entre os átomos, também chamada de comprimento da ligação, e nós a usamos para calcular um dos comprimentos de onda emitidos pelas moléculas excitadas de CO. Em experiências reais, os cientistas resolvem esse problema de trás para a frente: medindo as emissões de micro-ondas de uma amostra de moléculas diatómicas, eles calculam o momento de inércia da molécula e, portanto, o comprimento da ligação.

Equação 42.3:

Equação 42.4:

Equação 42.6: