Na discussão sobre os elétrons livres feita na Seção 42.5, imaginamos que seria possível d...

Na discussão sobre os elétrons livres feita na Seção 42.5, imaginamos que seria possível desprezar os efeitos da relatividade. Contudo, essa hipótese não é correta quando a energia de Fermi é maior que  (ou seja, quando ela é maior que 1% da energia de repouso do elétron). (a) Suponha que a energia de Fermi no zero absoluto, como indicado na Equação 42.19, seja igual a . Mostre que a concentração de elétrons é

e determine o valor numérico de N/V. (b) É uma boa aproximação desprezar os efeitos da relatividade em um metal como o cobre, cuja concentração de elétrons é igual a 8,45 × 1028 m−3? Explique, (c) Uma anã branca é oriunda dos restos de uma estrela como o Sol depois que esta cessou completamente a produção de energia pelas reações nucleares. (O Sol se transformará em uma anã branca depois de brilhar por mais 6 × 109 anos, aproximadamente.) Uma anã branca típica possui massa igual a 2 × 1030 kg (comparável com a massa solar) e um raio igual a 6.000 km (comparável com o raio da Terra). A atração gravitacional entre as camadas da anã branca tende a comprimir a estrela. O que impede a compressão é a pressão dos elétrons livres do interior da estrela (veja o Problema 42.53.) Estime a concentração de elétrons no interior de uma anã branca típica usando as seguintes hipóteses: (i) a estrela toda é feita de carbono, que possui massa por átomo igual a 1,99 × 10−26 kg; (ii) todos os seis elétrons de cada átomo de carbono podem se mover livremente através da estrela, (d) É uma boa aproximação desprezar os efeitos da relatividade na estrutura de uma anã branca? Explique.

Problema 42.53:

Considere um sistema de N elétrons livres no interior de um volume V. Mesmo no zero absoluto, tal sistema exerce uma pressão sobre suas vizinhanças por causa do movimento dos elétrons. Para calcular essa pressão, imagine que o volume cresça uma pequena quantidade dV. O trabalho realizado pelo elétron sobre suas vizinhanças é igual a p dV, o que significa que a energia total dos elétrons Etot deverá variar uma quantidade dEtot = −p dV. Logo, p = −dEtot/dV. (a) Mostre que a pressão do elétron no zero absoluto é

(b) Calcule essa pressão para o cobre, que possui uma concentração de elétrons livres igual a 8,45 × 1028 m−3. Expresse seu resultado em pascais e em atmosferas, (c) A pressão que você encontrou no item (b) é extremamente elevada. Por que, então, os elétrons em uma placa de cobre simplesmente não explodem e saem do metal?