Um solenoide com 25 espiras de fio é enrolado de forma compacta em torno de outra bobina c...

Um solenoide com 25 espiras de fio é enrolado de forma compacta em torno de outra bobina com 300 espiras (veja o Exemplo 30.1). O solenoide interno tem 25,0 cm de comprimento e diâmetro de 2,0 cm. Em um dado momento, a corrente no solenoide interno é igual a 0,120 A e aumenta a uma taxa de 1,75 × 103 A/s. Para esse momento, calcule: (a) o fluxo magnético médio através de cada espira do solenoide interno; (b) a indutância mútua dos dois solenoides; (c) a fem induzida no solenoide extemo pela corrente variante no solenoide interno.

Exemplo 30.1:

Em uma das versões da bobina de Tesla (um gerador de alta voltagem que talvez você já tenha visto em algum museu de ciências), um solenoide longo, de comprimento l e seção reta com área A, possui N1espiras enroladas de modo compacto. Uma bobina com espiras é enrolada em seu centro (Figura 30.3). Determine a indutância mútua M.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: a indutância mútua ocorre nessa situação porque uma corrente em uma das bobinas produz um campo magnético que gera um fluxo através da outra bobina. Pelo Exemplo 28.9 (Seção 28.7), temos uma expressão simples (Equação 28.23) para o módulo do campo B1 no centro do solenoide (bobina 1) em termos da corrente do solenoide i1. Isso nos permite determinar o fluxo através de uma seção reta do solenoide. Como quase não existe campo magnético fora de um solenoide muito longo, este também é igual ao fluxo ΦB2através de cada espira da bobina externa (2). Então, usamos a Equação 30.5, na forma M = N2ΦB2/i1, para determinar M.

EXECUTAR: a Equação 28.23 é expressa em termos do número de espiras por unidade de comprimento, que, para o solenoide (1), é n1 = N1/L. Assim,

O fluxo magnético através da seção reta do solenoide é igual a B1A. Como já dissemos, ele também é igual ao fluxo ΦB2 através de cada espira da bobina externa, qualquer que seja sua área da seção reta. De acordo com a Equação 30.5, a indutância mútua M é dada por

AVALIAR: a indutância mútua M de duas bobinas quaisquer é proporcional ao produto N1N2 de seus números de espiras. Note que a indutância mútua M depende apenas da geometria das bobinas, não da corrente que passa através delas.

Vejamos aqui um exemplo numérico para que você tenha ideia das ordens de grandeza. Considere l = 0,50 m, A = 10 cm2 = 1,0 × 10−3m2, N1 = 1.000 espiras e N2 = 10 espiras. Portanto,

Figura 30.3 Um solenoide longo com N1 espiras e seção reta de área A, que contém em seu centro uma bobina com N2 espiras.

Equação 30.5:

Exemplo 28.9:

Um solenoide é constituído por um enrolamento helicoidal de fio sobre um núcleo, em geral com seção reta circular. É possível haver milhares de espiras enroladas de forma compacta (geralmente em várias camadas), de modo que cada uma delas pode ser considerada uma espira circular. Podem existir diversas camadas de enrolamento. Para simplificar, a Figura 28.22 mostra um solenoide com apenas algumas espiras. Todas elas conduzem a mesma corrente I, e o campo magnético total  em cada ponto é a soma vetorial dos campos produzidos pelas espiras individuais. A figura mostra linhas do campo nos planos xy e xz. Desenhamos um conjunto de linhas do campo magnético uniformemente espaçadas no centro do solenoide. Cálculos precisos indicam que, para um solenoide longo e compacto, metade dessas linhas do campo emerge da extremidade e a outra metade “escapa” através dos enrolamentos entre o centro e a extremidade, como a figura sugere.

Quando o solenoide possui comprimento muito maior que o diâmetro de sua seção reta e as espiras são enroladas de forma compacta, o campo interno nas vizinhanças do centro do solenoide é paralelo ao seu eixo e quase uniforme, e o campo magnético externo é muito pequeno próximo ao ponto do centro.

Use a lei de Ampère para determinar o campo magnético no centro ou nas proximidades do centro desse solenoide se ele possui n espiras por unidade de comprimento e conduz uma corrente I.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: consideramos que  seja um campo uniforme no interior do solenoide e um campo nulo fora dele. A Figura 28.23 mostra a situação e nosso percurso de integração escolhido, o retângulo abcd. O lado ab, de comprimento L, é paralelo ao eixo do solenoide. Suponhamos que os lados bc e da sejam muito longos, de modo que o lado cd esteja tão afastado do solenoide que o campo magnético sobre ele seja desprezível.

EXECUTAR: o campo  ao longo do lado ab, é constante e paralelo a esse lado. Usando a lei de Ampère, fazemos o percurso ao longo do lado ab no mesmo sentido de . Logo, B|| = +B e então

Ao longo dos lados bc e da,  é perpendicular ao percurso, e, portanto, B|| = 0; ao longo do lado cd,  = 0, e, portanto, B|| = 0. Ao longo do percurso fechado inteiro, então, temos

Figura 28.22 Linhas de campo magnético produzidas pela corrente de um solenoide. Para maior clareza, somente algumas linhas são indicadas.

Figura 28.23 Nosso esquema para este problema.

O número de espiras para um dado comprimento L é igual a nL, e cada uma dessas espiras passa uma vez através do retângulo abcd e conduz uma corrente I. Então, a corrente total no interior do retângulo é Iinte = nLI. De acordo com a lei de Ampère, como a integral  é positiva, Iinte também deve ser positiva. Isso significa que a corrente que passa através da área delimitada pelo percurso de integração deve possuir o sentido indicado na Figura 28.23. Usando a lei de Ampère, encontramos BL = μ0nLI, ou:

 (28.23)

O lado ab não precisa estar localizado sobre o eixo do solenoide e, portanto, o método anterior também serve para provar que o campo magnético é uniforme ao longo da seção reta inteira nas proximidades do centro do solenoide.

AVALIAR: note que o sentido de  dentro do solenoide é o mesmo do vetor momento magnético , conforme encontramos na Seção 28.5 para uma única espira circular que conduz uma corrente. Para os pontos ao longo do eixo, o campo é mais forte nas vizinhanças do centro e diminui à medida que o ponto se aproxima das extremidades. Para um solenoide muito longo em comparação a seu diâmetro, o campo em cada extremidade é exatamente igual à metade do campo magnético em seu centro. Isso é aproximadamente o que acontece mesmo no caso de um solenoide curto, como mostra a Figura 28.24.

Figura 28.24 Módulo do campo magnético ao longo do eixo de um solenoide de comprimento 4a, igual a quatro vezes seu raio a. O campo magnético em cada extremidade do solenoide é aproximadamente a metade do módulo em seu centro. (Compare com a Figura 28.14 para o caso de N espiras circulares.)

Figura 28.14: Gráfico do campo magnético ao longo do eixo de uma bobina com N espiras circulares. Quando x é muito maior que a, o módulo do campo magnético diminui aproximadamente a 1/x3.