Um íon de berílio triplamente ionizado, Be3+ (um átomo de berílio com três elétrons removi...

Um íon de berílio triplamente ionizado, Be3+ (um átomo de berílio com três elétrons removidos), comporta-se de modo muito semelhante a um átomo de hidrogênio, exceto que a carga nuclear é quatro vezes maior, (a) Qual é a energia no nível fundamental do Be3+? Qual é a relação entre ela e a energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio? (b) Qual é a energia de ionização do Be3+? Qual é a relação entre ela e a energia de ionização do átomo de hidrogênio? (c) Para o átomo de hidrogênio, o comprimento de onda do fóton emitido na transição de n = 2 para n = 1 é de 122 nm (veja o Exemplo 39.6). Qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando um íon Be3+ sofre essa transição? (d) Para determinado valor de n, qual é a relação entre o raio de uma órbita no Be3 + e o raio no hidrogênio?

Exemplo 39.6:

Determine as energias cinética, potencial e total do átomo de hidrogênio no primeiro nível excitado e encontre o comprimento de onda do fóton emitido em uma transição desse nível para o nível básico.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema utiliza as ideias do modelo de Bohr. Usamos versões simplificadas das equações 39.12, 39.13 e 39.14, para encontrar as energias do átomo, e a Equação 39.16, hc/λ = EnU − EnL, para encontrar o comprimento de onda λ do fóton em uma transição de nU = 2 (o primeiro nível excitado) para nL = 1 (o nível básico).

EXECUTAR: poderíamos avaliar as equações 39.12, 39.13 e 39.14 para o nível de ordem n substituindo os valores de m, e,ϵ0 e h. Mas podemos simplificar o cálculo comparando com a Equação 39.15, que mostra que a constante me4/8ϵ02h2 que aparece nas equações 39.12, 39.13 e 39.14 é igual a hcR:

Isso nos permite reescrever as equações 39.12, 39.13 e 39.14 como

Para o primeiro nível excitado (n = 2), temos K2 = 3,40 eV, U2 = −6,80 eV e E2 = −3,40 eV. Para o nível básico (n = 1), E1 = −13,60 eV. A energia do fóton emitido é, então, E1 − E2 = −3,40 eV − (−13,60 eV) = 10,20 eV, e

Este é o comprimento de onda da linha Lyman-alfa (Lα), a linha de comprimento de onda mais longo na série de Lyman de linhas ultravioleta no espectro do hidrogênio (veja a Figura 39.24).

AVALIAR: a energia mecânica total para qualquer nível é negativa e igual à metade da energia potencial. Encontramos a mesma relação de energia para as órbitas de satélite newtonianas na Seção 12.4. As situações são semelhantes porque as forças eletrostática e gravitacional são inversamente proporcionais a 1/r2.

Equações 39.12:

Equações 39.13:

Equações 39.14:

Equação 39.15:

Equação 39.16:

Figura 39.24: Duas maneiras de representar os níveis de energia do átomo de hidrogênio e as transições entre eles. Note que o raio da órbita permitida de ordem n é, na realidade, n2 vezes o raio da órbita n = 1.