Intensidade em uma rede com N fendas, (a) Considere uma rede com N fendas com uma distânci...

Intensidade em uma rede com N fendas, (a) Considere uma rede com N fendas com uma distância d constante entre fendas adjacentes. As fendas emitem coerentemente e em fase ondas de comprimento de onda λ. Mostre que, para um instante t, o campo elétrico em um ponto P distante é dado por

onde E0 é a amplitude no ponto P do campo elétrico produzido por uma fenda individual, ϕ = (2πd sen θ)/λ, sendo θ o ângulo formado pelo raio que atinge o ponto P (medido a partir da perpendicular que passa pelo centro do conjunto das fendas) e R é a distância entre o ponto P e a fenda mais afastada. Neste problema, suponha que R seja muito maior que d. (b) Para fazer a soma indicada no item (a), é conveniente usar a seguinte relação envolvendo o número complexo eiz = cos z +  sen z onde  Na expressão anterior, cos z é a parte real do número complexo eiz e sen z é sua parte imaginária. Mostre que o campo elétrico EP(t) é dado pela parte real da grandeza complexa

(c) Usando a propriedade da função exponencial eA eB= e(A + B)e a propriedade (eA)n = enA, mostre que a soma do item (b) pode ser escrita na forma

A seguir, usando a relação eiz = cos z + i sen z, mostre que o campo elétrico (real) no ponto P é

A grandeza entre os dois primeiros colchetes na expressão anterior é a amplitude do campo elétrico no ponto P. (d) Use o resultado da amplitude do campo elétrico do item (c) para mostrar que a intensidade para qualquer ângulo θ é dada por

onde I0 é a intensidade máxima de uma única fenda, (e) Verifique o resultado geral do item (d) para o caso N = 2. Será útil lembrar que sen 2A = 2 sen A cos A. Explique por que seu resultado difere por um fator 4 do resultado mostrado na Equação 35.10, que fornece a expressão da intensidade na experiência de interferência em fenda dupla. (Dica: I0 é definido do mesmo modo nas duas expressões?)

Equação 35.10: