Problem

Uma casca cilíndrica isolante fina, com raio R e comprimento L (como o tubo de papelão de...

Uma casca cilíndrica isolante fina, com raio R e comprimento L (como o tubo de papelão de um rolo de papel higiênico), possui uma carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície. (a) Calcule o potencial elétrico em todos os pontos ao longo do eixo do cilindro. Faça a origem do sistema de coordenadas coincidir com o centro do tubo cilíndrico e considere o potencial no infinito igual a zero. (b) Mostre que, quando L ≪ R, o potencial do item (a) se reduz ao potencial de um anel carregado com raio R (veja o Exemplo 23.11 na Seção 23.3). (c) Use o resultado do item (a) para determinar o campo elétrico em todos os pontos ao longo do eixo do cilindro.

Exemplo 23.11 na Seção 23.3:

Uma carga elétrica Q está distribuída uniformemente em tomo de um fino anel de raio a (Figura 23.20). Calcule o potencial em um ponto P situado sobre o eixo do anel a uma distância x do centro do anel.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: dividimos o anel em segmentos infinitesimais e usamos a Equação 23.16 para determinar V. Todas as cargas sobre o anel (ou seja, todos os elementos da distribuição de cargas) estão a uma mesma distância r de um ponto P.

EXECUTAR: a Figura 23.20 mostra que a distância de cada elemento de carga dq sobre o anel até o ponto . Logo, podemos tirar o fator 1/r da integral na Equação 23.16 e

AVALIAR: quando x é muito maior que a, a expressão anterior de V torna-se V = Q/4πϵ0x, que corresponde ao potencial em um ponto situado a uma distância x de uma carga puntiforme Q. Quando estamos muito longe de um anel carregado, seu potencial elétrico toma-se semelhante ao de uma carga puntiforme. Obtivemos uma conclusão semelhante para o campo elétrico produzido por um anel no Exemplo 21.9 (Seção 21.5), portanto, também podemos determinar V ao longo desse eixo integrando como na Equação 23.17.