Problem

(a) Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1s de um átomo de h...

(a) Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1s de um átomo de hidrogênio a uma distância menor que a/2 do núcleo? (b) Use o resultado do item (a) e do Exemplo 41.4 para calcular a probabilidade de o elétron ser encontrado a uma distância entre a/2 e a do núcleo.

Exemplo 41.4:

A função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio (o estado 1s) é

(a) Mostre que essa função de onda é normalizada. (b) Qual é a probabilidade de um elétron se encontrar a uma distância menor que a em relação ao núcleo?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo é semelhante ao Exemplo 41.1 na Seção 41.2. Precisamos mostrar que essa função de onda satisfaz a condição de que a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar é 1. Precisamos, então, encontrar a probabilidade de que o elétron seja encontrado na região r Na parte (a), calculamos a integral ∫ |ψ|2 sobre todo o espaço; se ela for igual a 1, a função de onda é normalizada. Na parte (b), calculamos a mesma integral sobre um volume esférico que se estende da origem (o núcleo) até uma distância a do núcleo.

EXECUTAR: (a) como a função de onda depende apenas da coordenada radial r, podemos supor que nossos elementos de volume são camadas esféricas de raio r, espessura dr e volume dV dados pela Equação 41.24. Obtemos, então,

A seguinte integral indefinida pode ser obtida fazendo a integral anterior por partes ou por meio de uma tabela de integrais:

O cálculo entre os limites r = 0 e r = ∞ é simples; a expressão se anula para r = ∞ em razão do fator exponencial, e para r = 0, somente o último termo entre parênteses não se anula. Portanto, o valor da integral é igual a a3/4. Substituindo todos esses valores, obtemos

Portanto, a função de onda está normalizada.

(b) Para determinar a probabilidade P de o elétron se encontrar na região em que r < a, calculamos a mesma integral anterior, porém os limites agora são 0 e a. Deixaremos o desenvolvimento a seu encargo. Usando o limite superior da integral, obtemos −5e−2a3/4; o resultado final é

AVALIAR: de acordo com os resultados obtidos, no estado fundamental esperamos encontrar o elétron a uma distância menor que a em relação ao núcleo cerca de do tempo e a uma distância maior que a cerca de do tempo. É difícil de visualizar, mas, na Figura 41.8, cerca de da área abaixo da curva 1s estão situados em distâncias maiores que a (ou seja, r/a > 1).

Exemplo 41.1:

Equação 41.15:

Equação 41.6:

Equação 41.24:

Figura 41.8: Funções de distribuição de probabilidade radial P(r) para diversas funções de onda do átomo de hidrogênio; cada curva é representada em função da razão r/a (veja a Equação 41.26). Para cada função, o número de máximos é igual a (n − 1). As curvas para l = n − 1 (ls, 2p, 3d,…) apresentam apenas um máximo localizado no ponto r = n2a.

Equação 41.26:

Figura 40.12: Gráficos de (a) ψ(x) e (b) |ψ(x)|2 para as primeiras três funções de onda (n = 1, 2 e 3) para uma partícula em uma caixa. As linhas tracejadas na horizontal representam ψ(x) = 0 e |ψ(x)|2 = 0 para cada um dos três níveis. O valor de |ψ(x)|2 dx em cada ponto é a probabilidade de encontrar a partícula em um pequeno intervalo dx em volta do ponto. Como na Figura 40.11b, os três gráficos em cada parte foram postos na vertical para maior clareza.

Figura 40.11b: Funções de onda para a partícula confinada em uma caixa, para n = 1, 2, 3, 4 e 5.

ATENÇÃO: os cinco gráficos foram postos verticalmente para melhor clareza, assim como na Figura 40.10. Cada uma das linhas horizontais tracejadas representa a função ψ = 0 para a respectiva função de onda.