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A interação hiperfma no átomo de hidrogênio entre o momento de dipolo magnético do próton...

A interação hiperfma no átomo de hidrogênio entre o momento de dipolo magnético do próton e o momento de dipolo magnético de spin do elétron produz o desdobramento do nível fundamental em dois níveis separados por 5,9 × 10−6 eV. (a) Calcule o comprimento de onda e a frequência do fóton emitido quando o átomo faz uma transição entre esses estados e compare sua resposta com o valor dado no final da Seção 41.5. Em que parte do espectro eletromagnético o fóton se situa? Esses fótons são emitidos por nuvens de hidrogênio frias do espaço interestelar; ao detectar esses fótons, os astrônomos são capazes de calcular o número e a densidade de tais nuvens. (b) Calcule o campo magnético efetivo que atua sobre o elétron nesses estados (veja a Figura 41.18). Compare seu resultado com o campo magnético efetivo produzido pelo acoplamento spin-órbita calculado no Exemplo 41.7.

Figura 41.18: O nível l = 0 de um único elétron é desdobrado pela interação entre o momento magnético de spin e um campo magnético externo. Quanto maior for o módulo B do campo magnético, maior será o desdobramento. A grandeza 5,795 × 10−5 eV/T é exatamente(1,00116) μB.

Exemplo 41.7:

Para seis algarismos significativos, os comprimentos de onda das duas linhas espectrais que compõem o dupleto de sódio são λ1 = 588,995 nm e λ2 = 589,592 nm. Calcule o campo magnético efetivo que atua sobre o elétron nos níveis de energia 3p do átomo de sódio.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: as duas linhas do dupleto de sódio resultam da transição dos dois níveis 3p, que são desdobrados pelo acoplamento spin–órbita, para o nível 3s, que não sofre desdobramento porque L = 0. Imaginamos o acoplamento spin–órbita como uma interação entre o momento magnético do spin do elétron e um campo magnético efetivo gerado pelo núcleo. Este exemplo é como o inverso do Exemplo 41.6: 1á, B era dado e precisávamos calcular a diferença de energia entre os dois estados do spin, enquanto aqui usamos a diferença de energia para encontrar a incógnita B. A diferença de energia entre os dois níveis 3p é igual à diferença de energia entre os dois fótons do dupleto de sódio. Usaremos essa relação e os resultados do Exemplo 41.6 para determinar B.

EXECUTAR: as energias dos dois fótons são E1 = hc/λ1 e E2= hc/λ2. Aqui E1 > E2 porque λ1<λ2; então, a diferença em suas energias é

Isso iguala a diferença de energia entre os dois níveis 3p. A interação spin–órbita eleva um nível em 1,7 × 10−22 J (metade de 3,41 × 10−22 J) e abaixa o outro em 1,7 × 10−22 J. De acordo com o Exemplo 41.6, o valor em que cada estado é elevado ou abaixado é |U| = (1,00116) μBB; logo,

AVALIAR: esse resultado revela que o campo magnético efetivo a que um elétron é submetido é muito forte. Para produzir um campo magnético contínuo com esse valor, seria necessário usar um eletroímã moderno muito sofisticado.

Exemplo 41.6:

Calcule a energia de interação para um elétron no estado l = 0 (que não possui momento magnético orbital) em um campo magnético com módulo igual a 2,00 T.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: para l = 0, o elétron possui momento angular orbital zero e momento magnético orbital zero. Portanto, a única interação magnética é a que se observa entre o campo to momento magnético do spin . Pela Equação 41.28, a energia de interação é. Como na Seção 41.4, fazemos que B seja o sentido z positivo, de modo que U = −μzB (Equação 41.32). A Equação 41.38 determina μz em função de Sz, e a Equação 41.36 fornece Sz.

EXECUTAR: combinando as equações 41.36 e 41.38, temos

Então, pela Equação 41.32,

O valor positivo de U e o valor negativo de μz correspondem a (spin para cima); o valor negativo de U e o valor positivo de μz correspondem a (spin para baixo).

AVALIAR: vamos verificar os sinais dos nossos resultados. Se o spin do elétron for para baixo, o momento angular do spin geralmente aponta para o sentido contrário ao de . Portanto, o momento magnético (que tem o sentido contrário ao de porque a carga do elétron é negativa) geralmente tem sentido paralelo ao de eμz é positivo. Da Equação 41.28, , a energia de interaçãoé negativa se e forem paralelos. Nossos resultados mostram que U é realmente negativo nesse caso. Podemos, da mesma forma, confirmar que U precisa ser positivo e μz negativo para que o spin de um elétron seja para cima.

As linhas vermelhas na Figura 41.18 mostram como as energias de interação para os dois estados de spin variam com o módulo do campo magnético B. Os gráficos são linhas retas porque, pela Equação 41.32, U é proporcional a B.

Figura 41.18: O nível l = 0 de um único elétron é desdobrado pela interação entre o momento magnético de spin e um campo magnético externo. Quanto maior for o módulo B do campo magnético, maior será o desdobramento. A grandeza 5,795 × 10−5 eV/T é exatamente (1,00116) μB.