Problem

A astronauta Mavis passa sobre Stanley com velocidade relativa igual a 0,800c. Mavis e Sta...

A astronauta Mavis passa sobre Stanley com velocidade relativa igual a 0,800c. Mavis e Stanley sincronizam o instante zero de seus respectivos cronômetros quando a espaçonave de Mavis está diretamente acima de Stanley. Quando o cronômetro de Mavis indica 5,0 s, ela liga uma fonte luminosa muito forte sob a frente da espaçonave. (a) Use as transformações de Lorentz deduzidas no Exemplo 37.6 para calcular os valores de x e t como medidos por Stanley para o evento da ligação da luz. (b) Aplique a fórmula da dilatação do tempo, Equação 37.6, para calcular o intervalo de tempo entre os dois eventos (o instante em que a espaçonave passa sobre sua cabeça e o instante em que a luz se acende), conforme medida realizada por Stanley. Compare com o valor de t que você calculou no item (a). (c) Multiplique o intervalo de tempo pela velocidade de Mavis, usando os dois valores medidos por Stanley para calcular a distância que ela se deslocou, como foi verificado por ele até o momento em que a luz se acende. Compare com o valor de x que você calculou no item (a).

Exemplo 37.6:

Tendo vencido uma competição interestelar, Mavis pilota sua espaçonave e atravessa a linha de chegada com uma velocidade igual a 0,600c em relação a essa linha. Um sinal de “vitória” é enviado da parte traseira de sua espaçonave (evento 2) no instante em que (no sistema de referência de Mavis) a parte dianteira da espaçonave atravessa a linha final de chegada (evento 1). Ela verifica que o comprimento da espaçonave é 300 m. Stanley está em repouso no local da linha de chegada. Quando e onde os eventos 1 e 2 ocorrem para Stanley?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo envolve a transformação de Lorentz para coordenadas. Nossa dedução para as transformações de Lorentz pressupõe que as origens dos sistemas S e S′ coincidem quando t = 0 = t′. Para simplificarmos, fixamos a origem do sistema S na linha de chegada e a origem do sistema S′ na parte dianteira da espaçonave, de modo que Stanley e Mavis verificam que o evento 1 possui coordenadas x = 0 = x′ e t = 0 = t′.

Mavis em S' verifica que o comprimento de sua espaçonave é 300 m; portanto, o sinal de “vitória” é enviado a uma distância de 300 m atrás da parte dianteira da espaçonave no momento em que ela atravessa a linha final. Ou seja, para ela, o evento 2 ocorre em x' = −300 m e t' = 0.

Nossas variáveis-alvo são a coordenada x e o tempo t do evento 2 que Stanley mede em S.

EXECUTAR: para encontrar as variáveis-alvo mais facilmente, modificamos a primeira e a última das equações 37.21 para determinar x e t em função de x' e t'. Fazemos isso usando o princípio da relatividade da mesma forma que obtivemos a Equação 37.23 a partir da Equação 37.22. Removemos os primos de x' e t', adicionamos primos em x e t e, por fim, substituímos u por −u. Os resultados são

De acordo com a Equação 37.7, γ = 1,25 para u = 0,600c = 1,80 × 108 m/s. Substituímos também os valores x′ = −300 m, t′ = 0, c = 3,0 × 108 m/s e u = 1,80 × 108 m/s nas equações de x e t para encontrarmos para o evento 2 os valores x = −375 m para t = −7,50 × 10−7s = −0,750 μs.

AVALIAR: Mavis afirma que os dois eventos são simultâneos, porém Stanley não concorda. Ele afirma que o sinal de “vitória” foi enviado antes de ela atravessar a linha final. Isso não significa que o efeito foi anterior à causa que o produziu. O mais rápido que Mavis pode enviar um sinal do comprimento de sua espaçonave é 300 m/(3,0 × 108 m/s) = 1,0 μs. Ela não pode enviar um sinal a partir da parte dianteira da espaçonave no instante em que cruza a linha de chegada que seja enviado a partir da parte traseira ao mesmo tempo. Ela teria de enviar o sinal da frente no mínimo 1,0 μs antes disso; portanto, teria de prever que seria a vencedora.

Equações 37.21: