Os prótons, os nêutrons e muitas outras partículas são constituídos por partículas fundame...

Os prótons, os nêutrons e muitas outras partículas são constituídos por partículas fundamentais chamadas quarks e antiquarks (a antimatéria dos quarks). Os quarks e os antiquarks podem formar estados ligados com uma variedade de níveis de energia diferentes, cada um dos quais corresponde a uma partícula diferente que pode ser observada em laboratório. Como exemplo, a partícula ψ é uma partícula correspondente ao estado ligado de mais baixa energia do chamado quark charm e de seu antiquark, com uma energia de repouso igual a 3.097 MeV; a partícula ψ(2S) é outro estado excitado dessa mesma combinação quark-antiquark, com uma energia de repouso igual a 3.686 MeV. Uma representação simplificada da energia potencial da interação entre um quark e um antiquark é dada por U(x) = A|x|, onde A é uma constante positiva e x representa a distância entre o quark c o antiquark. Você pode usar a aproximação WKB (Problema desafiador 40.64) para determinar as energias dos estados ligados para essa função energia potencial. Na aproximação WKB, os níveis de energia são obtidos pelas soluções da equação

onde E é a energia, U(x) é a função energia potencial e x = a e x = b são os dois pontos clássicos de inversão (os pontos em que E é igual à energia potencial, de modo que a energia cinética newtoniana deve ser igual a zero), (a) Determine os pontos de inversão clássicos para a energia E e para a energia potencial U(x) = A|x|. (b) Calcule a integral anterior e mostre que os níveis de energia na aproximação WKB são dados por

(Dica: a integral é par, de modo que a integral de -x até x é igual ao dobro da integral de 0 até x.) (c) A diferença de energia entre dois níveis adjacentes aumenta, diminui ou permanece constante à medida que o número n aumenta? Como esse resultado se compara com os níveis de energia do oscilador harmónico? E com os níveis de energia de uma partícula em uma caixa? Você é capaz de sugerir alguma regra simples que relacione as diferenças de energia entre dois níveis adjacentes sucessivos com a forma da função energia potencial?